Для многих знакомство с математикой заканчивается там же, где и началось: в школе. Этот предмет кажется набором нелепых, безжизненных правил, оторванных от жизни и скучных. Что мы помним через годы после окончания школы: таблицу умножения (не всегда полностью), элементарные действия вычисления, кое-кто даже может решить задачу про поезд А и поезд Б. Правда, до сих пор непонятно, зачем эти поезда выехали? Остальное за нас вполне может решить калькулятор. Так, зачем тогда математика?
Хотя давно известно, что математика пронизывает нашу жизнь, как Wi-FI. Она везде: в последних сводках спортивных новостей, в результатах выборов, в живописи и в социальных сетях. Просто нужно понимать, как пользоваться математическими законами. В книге «Как не ошибаться» профессор математики, Джордан Элленберг, показывает связи науки и повседневности.
Как понять математику и применять в жизни
«Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит», – сказал Михаил Васильевич Ломоносов. Именно эту задачу решает книга Элленберга. Она пытается привести в порядок наш ум на простых, жизненных примерах. Уже в предисловии автор обещает не грузить читателя сложными задачами. Он использует простые, от руки нарисованные картинки, чтобы объяснить достаточно сложные понятия. Но самое интересное начинается, когда Элленберг показывает, как эти понятия можно применять в экономике, социальных взаимосвязях, и остальных сферах повседневной жизни. Кроме того, Элленберг на примерах разбирает, какие опасности таят в себе бездумное использование статистики, экстраполяции, упрощенного линейного мышления,например:
Кто самый меткий снайпер в НБА? Через месяц после начала сезона 2011/2012 года пять игроков получили равное значение самого высокого процента попаданий в лиге. Дело в том, что эти пять игроков не были лучшими бомбардирами НБА. Они вообще почти не играли. Один из них, например, играл в лишь одном матче. Он сделал один бросок, оказавшийся точным. В целом пять игроков из этого списка сделали тринадцать бросков, каждый из которых попал в корзину. Маленькие выборки более вариабельны, поэтому ведущим игроком НБА неизменно становится тот, кто совершил небольшое количество бросков и кому каждый раз сопутствовала удача.
Игроки кажутся не важным предметом для рассуждения? Можно заменить их, например, школами города, а броски – количеством успешных выпускников.
На какие средства жили великие мыслители?
Как вы думаете, на какие средства жил, например, Вольтер, чтобы иметь возможность писать свои труды? Уж никак не на доходы от творчества. На этом тогда, и сейчас особо не зарабатывали. Все гораздо прозаичнее: Вольтер и его приятель, математик и путешественник Шарль Мари де ла Кондамин, организовали группу для покупки лотерейных билетов, привязанную к продаже государственных облигаций Франции. Дело в том, что правительство страны, желая простимулировать народ покупать облигации, привязало их к лотерее. Но замминистр финансов допустил ошибку в расчетах.
Поэтому выигрыши, которые нужно было выплачивать, гораздо превышали сумму денег, которую можно было выручить за счет продажи лотерейных билетов. Другими словами, эта лотерея имела положительную ожидаемую ценность для игроков, и любой, кто купил бы достаточное количество билетов, непременно получил бы большой выигрыш.
Де ла Кондамин, поняв эту оплошность, начал скупать лотерейные билеты. Вольтер писал на них смелые и злободневные лозунги: «Все люди равны!», например. Бесплатный пиар никому еще не мешал. Несмотря на то, что власти поняли ошибку и прикрыли лотерею, Вольтер и де ла Кондамин получили достаточно денег, чтобы безбедно жить до конца своих дней.
Такую яркую байку рассказал Джордан Элленберг, чтобы наглядно показать, как математика тесно связана с повседневностью.
Статья в тему: Думай, как математик!
Нужно ли опаздывать на самолет?
Джордж Стиглер, Нобелевский лауреат, говорил: ≪Если вы никогда не опаздываете на самолет, значит, вы проводите слишком много времени в аэропорту≫.
Однако, каким бы необычным ни казалось утверждение Стиглера, вычисление ожидаемой ценности показывает, что оно абсолютно корректно — во всяком случае для тех, кто много летает. Для простоты мы можем проанализировать всего три варианта.
Вариант 1. Прибытие в аэропорт за 2 часа до вылета, опоздание на самолет в 2% случаев.
Вариант 2. Прибытие в аэропорт за 1,5 часа до вылета, опоздание на самолет в 5% случаев.
Вариант 3. Прибытие в аэропорт за 1 час до вылета, опоздание на самолет в 15% случаев
Конечно, важно понимать, на какой рейс и куда мы опоздаем. Однако, как пишет автор, в экономике все принято считать. И если люди действуют рационально, это увеличивает полезность их решений.
Некоторые даже предпочитают измерять полезность в стандартных единицах под названием ≪ютили≫. Предположим, один час вашего времени дома стоит один ютиль; в таком случае прибытие в аэропорт за два часа до вылета обойдется вам в два ютиля, тогда как прибытие за один час — один ютиль. Опоздание на самолет явно хуже потраченного зря часа времени. Если вы считаете, что опоздание стоит шесть часов вашего времени, тогда можете приравнять упущенный рейс к шести ютилям.
Если мы переведем все в ютили, это позволит нам сравнить ожидаемую ценность трех стратегий.
Вариант 1 −2 + 2% × (−6) = −2,12 ютиля
Вариант 2 −1,5 + 5% × (−6) = −1,8 ютиля
Вариант 3 −1 + 15% × (−6) = −1,9 ютиля
Вариант 2 — именно тот, который в среднем обойдется вам в самое меньшее количество ютилей, хотя он и сопровождается ненулевой вероятностью опоздания на самолет.
История про мертвую рыбу, понимающую эмоции
В 2009 г. нейробиолог Крейг Беннет представил миру поистине ошеломляющий доклад «Нейронные корреляты видения ситуации с межвидовой точки зрения, полученные после смерти атлантического лосося: аргумент в пользу коррекции множественных сравнений результатов». Разобравшись со сложными терминами названия, оказалось, что мертвую рыбу сканировали с помощью МРТ и одновременно показывали ей фотографии людей в разных ситуациях. Внезапно ученые увидели, что мозг мертвой рыбы реагировал на эмоции, отображенные на фотографиях. Более того: рыба практически всегда правильно оценивала эмоции на изображениях.
Шок! Сенсация! Ведь и живые существа не всегда точно «считывают» эмоции других, а дохлый лосось. Это тянет на Нобелевскую премию! Хорошо, что эксперимент Беннета был остроумной шуткой. Его целью было привлечь внимание к тому, что нейробиологи могут ошибаться из-за методологических небрежностей в исследованиях. Однако, в каждой шутке есть нечто более глубокое. Как пишет Элленберг: существует «одна фундаментальная истина — маловероятные события случаются довольно часто».
Далее он целую главу посвящает проблеме ошибочных умозаключений, погружаясь при этом в коды Библии и Торы, результаты медицинских исследований, рассматривает эффект плацебо новых медикаментов. Автор наглядно с помощью математики показывает, как опасно принимать во внимание лишь определенные данные и игнорировать другие параметры. Не принимая их во внимание, не учитывая такие вещи как статистическую защиту- метод, известный как «коррекция множественных сравнений результатов»,
ученые рискуют каждый раз воссоздавать своего рода аферу балтиморского фондового брокера, втягивая в нее не только себя, но и своих коллег. Испытывать возбуждение по поводу дохлой рыбы, чьи вокселы отреагировали на фотографии, и игнорировать все остальные параметры — так же опасно, как и приходить в волнение из-за потока информационных писем с якобы правильными прогнозами курса акций и при этом не учитывать наличие других рассылок, с ошибочными прогнозами.
Вот такие любопытные истории рассматривает Джордан Элленберг в книге «Как не ошибаться». В его копилке множество цитат, статей, в которых небрежное обращение с математическими понятиями приводит к искаженным выводам. Но мало просто продемонстрировать ошибочные итоги, автор объясняет как этого можно было избежать.
Даже если математика останется для некоторых читателей набором непонятных формул, книга Элленберга поможет начать мыслить критически, даст толчок к логическому мышлению и защитит от бессмысленного жонглирования цифрами в общении.
Как не ошибаться. Сила математического мышления
